อนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย
    เทคนิคการหาปริพันธ์
        ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
        การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
        การหารปริพันธ์ในรูปรากที่
            n ของ ax+b
        การหาปริพันธ์ของฟังก์ชัน
            ตรีโกณมิติบางแบบ
        การหาปริพันธ์โดยการแปลงเป็น
            ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
        การหาปริพันธ์โดยแยกส่วน
        การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสอง
        การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ
            โดยแยกเป็นเศษส่วนย่อย
        การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะ
            ของไซน์และโคไซน์
        การหาปริพันธ์โดยแทนค่าแบบอื่น
        หนังสืออ่านประกอบ
 การประยุกต์ปริพันธ์จำกัดเขต
 หลักเกณฑ์โลปิตาลและปริพันธ์
         ไม่ตรงแบบ
 ลำดับและอนุกรม
 สมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้น
 
เทคนิคการหาปริพันธ์ > ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
     
 
     
  ความคิดรวบยอด 

ปริพันธ์เป็นการดำเนินการผกผัน (inverse operation) ขออนุพันธ์ ดังนั้นจากสูตรพื้นฐานที่ใช้ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัยจึงสามารถนำมาใช้ในการหาปริพันธ์ได้

 
     
 

จุดประสงค์การเรียนรู้

เพื่อให้ผู้เรียนมีความสามารถในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัย โดยใช้สูตรพื้นฐานได้

 
     
 
     

บทนิยาม 2.1.1 ฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) ของฟังก์ชัน f ก็ต่อเมื่อ F' = f

 

ตัวอย่าง 2.1.1 ฟังก์ชัน

                                        

                                        

                            ล้วนเป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = x 2 เพราะ

 

                          จากทฤษฎีในคณิตศาสตร์ 1 เราทราบว่า ถ้า f และ g นิยามบนช่วง I และ f' (x) = g' (x) สำหรับทุก x ในช่วง I แล้ว จะมีค่าคงตัว C ซึ่ง f(x) = g(x) + C ดังนั้นเราอาจจะกล่าวว่า ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้ว ปฏิยานุพันธ์อื่น ๆ ของ f จะต่างจาก F เฉพาะค่าคงที่เท่านั้น นั่นคือ ปฏิยานุพันธ์ทั่วไปของ f จะอยู่ในรูป F(x) + C เมื่อ C เป็นค่าคงตัว

                          ดังนั้น ถ้า F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f แล้ว เราจะใช้สัญลักษณ์

                          เรียก F(x) + C ว่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) ของ f

                          เรียก f ว่า ฟังก์ชันปริพันธ์ (integrand function)

                          เรียก C ว่า ค่าคงตัวของการอินทิเกรต (constant of integration) หรือ ตัวคงค่า (arbitrary constant)

                          หลักเกณฑ์เบื้องต้นในการหาปริพันธ์ทั้งที่ได้กล่าวไว้แล้วในวิชาคณิตศาสตร์ 1 และในบทที่ 1 ของเอกสารนี้ที่ควรทราบสรุปได้ดังนี้

                          1. เมื่อ k เป็นค่าคงตัว

                          2.

                          3.

                          4.

                          5. เมื่อ n เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ – 1

                          6.

                          7.

                          8.

                          9.

                          10.

                          11.

                          12.

                          13.

                          14.

                          15.

                          16.

                          17.

                          18.

                          19.

                          20.

                          21.

                          22.

                          23.

                          24.

                          25.

                          26.

                          27.

                          28.

                          29.

                          30.

                          31.

                          32.

                          33.

                          34. , u > a > 0

                          35. , a > 0 , | u | < a

                          36. , a > 0 , 0 < |u | < a

 

ตัวอย่าง 2.1.2 จงหาปริพันธ์ดังต่อไปนี้

                           1.

                           2.

วิธีทำ                 1. = = + C

                           2. = =

 
 
     
 

แบบฝึกหัด 2.1

จงหาปริพันธ์ดังต่อไปนี้

               1.

               2.

               3.

               4.

               5.

               6.

               7.

               8.

               9.

               10.